Prosty ruch harmoniczny został wymyślony przez francuskiego matematyka, barona Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera w 1822 roku. Edwin Armstrong (18 grudnia 1890 - 1 lutego 1954) zaobserwował oscylacje w 1992 roku w swoich eksperymentach, a Alexander Meissner (14 września 1883 do 3 stycznia 1958) wynalazł oscylatory w marcu 1993 roku. Termin harmoniczny jest słowem łacińskim. W tym artykule omówiono przegląd oscylatora harmonicznego, w tym jego definicję, typ i zastosowania.
Co to jest oscylator harmoniczny?
Oscylator harmoniczny jest definiowany jako ruch, w którym siła jest wprost proporcjonalna do cząstki z punktu równowagi i wytwarza sygnał wyjściowy w postaci fali sinusoidalnej. Siła, która powoduje harmonię ruch można wyrazić matematycznie jako
F = -Kx
Gdzie,
F = siła przywracająca
K = stała sprężyny
X = odległość od równowagi
schemat blokowy oscylatora harmonicznego
W ruchu harmonicznym występuje punkt, w którym układ oscyluje, a siła, która przenosi masę raz po raz do tego samego punktu, z którego się zaczyna, nazywa się siłą przywracającą, a punkt nazywany jest punktem równowagi lub pozycją średnią. Ten oscylator jest również znany jako liniowy oscylator harmoniczny . Energia płynie z aktywnych składniki do elementów pasywnych w oscylatorze.
Schemat blokowy
Plik schemat blokowy oscylatora harmonicznego składa się z wzmacniacz oraz sieć informacji zwrotnych. Wzmacniacz służy do wzmacniania sygnałów, a wzmocnione sygnały przechodzą przez sieć sprzężenia zwrotnego i generują sygnał wyjściowy. Gdzie Vi to napięcie wejściowe, Vo to napięcie wyjściowe, a Vf to napięcie sprzężenia zwrotnego.
Przykład
Msza św. Na wiosnę: Sprężyna zapewnia siłę przywracającą, która przyspiesza masę, a siła przywracająca jest wyrażona jako
F = ma
Gdzie „m” to masa, a a to przyspieszenie.
masa na wiosnę
Sprężyna składa się z masy (m) i siły (F). Gdy siła ciągnie masę w punkcie x = 0 i zależy tylko od x - położenie masy i stała sprężystości jest reprezentowana przez literę k.
Rodzaje oscylatorów harmonicznych
Typy tego oscylatora obejmują głównie następujące.
Wymuszony oscylator harmoniczny
Kiedy przykładamy siłę zewnętrzną do ruchu układu, mówi się, że ruch jest wymuszonym oscylatorem harmonicznym.
Oscylator harmoniczny tłumiony
Oscylator ten definiuje się jako przyłożenie siły zewnętrznej do układu, wówczas ruch oscylatora zmniejsza się i mówi się, że jego ruch jest tłumionym ruchem harmonicznym. Istnieją trzy typy tłumionych oscylatorów harmonicznych
przebiegi tłumiące
Over Damped
Kiedy system powoli przesuwa się w kierunku punktu równowagi, mówi się, że jest to nadmiernie tłumiony oscylator harmoniczny.
Under Damped
Kiedy system szybko zbliża się do punktu równowagi, mówi się, że jest to nadmiernie tłumiony oscylator harmoniczny.
Krytyczne tłumienie
Gdy system porusza się tak szybko, jak to możliwe, bez oscylacji wokół punktu równowagi, mówi się, że jest to nadmiernie tłumiony oscylator harmoniczny.
Kwant
Został wynaleziony przez Maxa Borna, Wernera Heisenberga i Wolfganga Pauliego z „University of Gettingen”. Słowo kwant jest łacińskim słowem, a kwant oznacza niewielką ilość energii.
Energia punktu zerowego
Energia punktu zerowego jest również znana jako energia stanu podstawowego. Definiuje się, kiedy energia w stanie podstawowym jest zawsze większa od zera i koncepcja ta została odkryta przez Maxa Plancka w Niemczech i formuła opracowana w 1990 roku.
Średnia energia tłumionego prostego równania harmonicznego oscylatora
Istnieją dwa rodzaje energii: energia kinetyczna i energia potencjalna. Suma energii kinetycznej i energii potencjalnej jest równa energii całkowitej.
E = K + U ………………. Równanie (1)
Gdzie E = całkowita energia
K = energia kinetyczna
U = energia potencjalna
Gdzie k = k = 1/2 mvdwa………… eq (2)
U = 1/2 kxdwa………… eq (3)
cykl oscylacji dla wartości średnich
Średnie wartości energii kinetycznej i potencjalnej na cykl oscylacji są równe
Gdzie vdwa= wdwa(DOdwa-xdwa) ……. eq (4)
Zastąpienie eq (4) w równaniu (2) i równaniu (3) otrzyma
k = 1/2 m [szerdwa(DOdwa-xdwa)]
= 1/2 m [Aw cos (wt + ø0)]dwa……. eq (5)
U = 1/2 kxdwa
= 1/2 k [A sin (wt + ø0)]dwa……. eq (6)
Zastąpienie eq (5) i eq (6) w równaniu (1) otrzyma całkowitą wartość energii
E = 1/2 m [szerdwa(DOdwa-xdwa)] + 1/2 kxdwa
= 1/2 m szerdwa-1/2 m szerdwaDOdwa+ 1/2 kxdwa
= 1/2 m szerdwaDOdwa+1/2 xdwa(K-mwdwa) ……. eq (7)
Gdzie mwdwa= K. podstaw tę wartość w równaniu (7)
E = 1/2 K Adwa- 1/2 Kxdwa+ 1/2 xdwa= 1/2 K Adwa
Całkowita energia (E) = 1/2 K Adwa
Średnie energie w jednym okresie są wyrażane jako
DOśr= Uśr= 1/2 (1/2 K Adwa)
Funkcja fali oscylatora harmonicznego
Operator hamiltonianu jest wyrażony jako suma energii kinetycznej i energii potencjalnej i jest wyrażony jako
ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)
Gdzie ђ = operator hamitoński
T = energia kinetyczna
V = energia potencjalna
Aby wygenerować funkcję falową, musimy znać równanie Schrodingera, a równanie jest wyrażone jako
-đdwa/ 2μ * ddwaѱυ(Q) / dQdwa+ 1 / 2KQdwaѱυ(Q) = E.υѱυ(Q) …………. eq (2)
Gdzie Q = długość normalnej współrzędnej
Μ = efektywna masa
K = siła stała
Warunki brzegowe równania Schrodingera to:
Ѱ (-∞) = ø
Ѱ (+ ∞) = 0
Możemy również zapisać równanie (2) jako
redwaѱυ(Q) / dQdwa+ 2μ / đdwa(MIυ-K / 2 * Qdwa) ѱυ(Q) = 0 ………… eq (3)
Parametry używane do rozwiązania równania to
β = ђ / √μk ……… .. eq (4)
redwa/ dQdwa= 1 / βdwaredwa/ dxdwa………… .. eq (5)
Zastąp równanie (4) i równanie (5) w równaniu (3), a następnie równanie różniczkowe dla tego oscylatora stanie się
redwaѱυ(Q) / dxdwa+ (2 μbdwamiυ/ đdwa- xdwa) ѱυ(x) = 0 ……… .. równ. (6)
Ogólne wyrażenie na szereg potęg to
ΣC¬nx2 …………. eq (7)
Funkcja wykładnicza jest wyrażana jako
exp (-xdwa/ 2) ………… eq (8)
eq (7) mnoży się przez równanie (8)
ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)
Wielomiany Hermite'a uzyskuje się za pomocą poniższego równania
ђυ(x) = (-1)υ* exp (xdwa) d / dxυ* exp (-xdwa) …………… .. równ. (10)
Stała normalizująca jest wyrażona jako
Nυ= (1/2υυ! √Π)1/2…………… .eq (11)
Plik proste rozwiązanie oscylatora harmonicznego jest wyrażona jako
Ѱυ(x) = N.υH.υ(i) e-x2 / 2……………… eq (12)
Gdzie N.υjest stałą normalizacyjną
H. υ jest Pustelnikiem
jest -x2 / dwajest Gaussa
Równanie (12) jest funkcją falową oscylatora harmonicznego.
Ta tabela przedstawia pierwszy termin wielomiany Hermite'a dla najniższych stanów energetycznych
| υ | 0 | 1 | dwa | 3 |
H.υ(Y) | 1 | 2 lata | 4 latadwa-2 | 8 lat3-12 lat |
Funkcje falowe prosty wykres oscylatora harmonicznego dla czterech najniższych stanów energetycznych przedstawiono na poniższych rysunkach.
funkcje falowe oscylatora harmonicznego
Na poniższych rysunkach przedstawiono gęstości prawdopodobieństwa tego oscylatora dla czterech najniższych stanów energetycznych.
prawdopodobieństwo-gęstości-fal
Aplikacje
Swdrożyć oscylator harmonicznyaplikacje obejmują głównie następujące
- Systemy audio i wideo
- Radio i inne urządzenia komunikacyjne
- Falowniki , Alarmy
- Buzzery
- Dekoracyjne światła
Zalety
Plik zalety oscylatora harmonicznego są
- Tani
- Generowanie wysokiej częstotliwości
- Wysoka wydajność
- Tani
- Przenośny
- Ekonomiczny
Przykłady
Przykład tego oscylatora obejmuje następujące elementy.
- Instrumenty muzyczne
- Proste wahadło
- System masowych sprężyn
- Huśtawka
- Ruch wskazówek zegara
- Ruch kół samochodów osobowych, ciężarowych, autobusów itp
Jest to jeden rodzaj ruchu, który możemy obserwować na co dzień. Harmoniczny oscylator Wyprowadza się funkcję falową za pomocą Schrodingera i równania oscylatora harmonicznego. Oto pytanie, jaki rodzaj ruchu wykonuje skoki na bungee?
